Binomio de Newton

(a + b) n
(a - b) n
n:


Explicación:

El cuadrado de una suma (a + b)2 o el cuadrado de una resta (a - b)2 son sólo los casos más sencillos cuando elevamos un binomio a una potencia. Para estos casos, son conocidas las fórmulas "el cuadrado del primero más (o menos) el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo", es decir:
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Si generalizamos esto para cualquier exponente n, tenemos lo que se conoce como "Binomio de Newton". Según esta fórmula, los coeficientes del desarrollo de (a + b)n son los números combinatorios mientras que los términos van disminuyendo el grado de a de uno en uno y aumentando el de b de uno en uno (de forma que la suma de los exponentes siempre es n), con lo que obtenemos:


Precisamente esos coeficientes son los números de la fila enésima del Triángulo de Tartaglia:


Por ejemplo, si elevamos a la sexta potencia, los coeficientes son los números del triángulo de Tartaglia de la fila del 6, es decir, 1, 6, 15, 20, 15, 6 y 1, con lo que obtendríamos:

(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

Si lo que elevamos es una resta, es igual pero alternando los signos más y menos, es decir:

(a - b)6 = a6 - 6a5b + 15a4b2 - 20a3b3 + 15a2b4 - 6ab5 + b6